बल आघूर्ण के सिद्धान्त पर कार्य करने वाली एक भौतिक तुला के बाँये पलड़े में जब $5\; mg$ भार रखा जाता है तो कमानी क्षैतिज हो जाती है। तुला के दोनों पलड़ों का द्रव्यमान समान है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है ?
बल आघूर्ण के सिद्धान्त पर कार्य करने वाली एक भौतिक तुला के बाँये पलड़े में जब $5\; mg$ भार रखा जाता है तो कमानी क्षैतिज हो जाती है। तुला के दोनों पलड़ों का द्रव्यमान समान है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है ?
- [JEE MAIN 2017]
- A
बाँयी भुजा, दाँयी भुजा से लम्बी है।
- B
दोनों भुजायें समान लम्बाई की हैं।
- C
बाँयी भुजा, दाँयी भुजा से छोटी है।
- D
प्रत्येक वस्तु जिसको इस तुला पर तौला जाता है, उसका भार अपने वास्तविक भार से कम प्रतीत होता है।
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भार $W$ तथा लम्बाई $L$ की एक क्षैतिज (horizontal) एकसमान बीम (uniform beam) के एक सिरे को एक उर्ध्वाधर दीवार के बिन्दु $O$ पर कब्जे से अटकाया गया (hinged) है। बीम का दूसरा सिरा $P$ एक भारहीन तथा न खींचने वाली (inextensible) डोरी से बंधा है। डोरी का दूसरा सिरा $Q$ बिन्दु $O$ पर स्थित कब्जे (hinge) से $L$ ऊंचाई पर बंधा है। बीम के सिरे $P$ से $\alpha W$ भार का एक गुटका जुड़ा है, जैसा चित्र में दर्शाया गया है। चित्र पैमाने (scale) के अनुसार नहीं है। डोरी अधिकतम तनाव $(2 \sqrt{2}) W$ वहन कर सकती है। निम्न में से कौन सा(से) कथन सही है (हैं)?
$(A)$ बिन्दु $O$ पर लगे प्रतिक्रिया बल का ऊर्ध्वाधर घटक, $\alpha$ पर निर्भर नहीं करता है
$(B)$ बिन्दु $O$ पर लग प्रतिक्रिया बल का क्षैतिज घटक, $\alpha=0.5$ के लिए, $W$ के बराबर है
$(C)$ $\alpha=0.5$ के लिए डोरी में तनाव $2 W$ है
$(D)$ यदि $\alpha>1.5$ हो, तो डोरी टूट जाएगी
भार $W$ तथा लम्बाई $L$ की एक क्षैतिज (horizontal) एकसमान बीम (uniform beam) के एक सिरे को एक उर्ध्वाधर दीवार के बिन्दु $O$ पर कब्जे से अटकाया गया (hinged) है। बीम का दूसरा सिरा $P$ एक भारहीन तथा न खींचने वाली (inextensible) डोरी से बंधा है। डोरी का दूसरा सिरा $Q$ बिन्दु $O$ पर स्थित कब्जे (hinge) से $L$ ऊंचाई पर बंधा है। बीम के सिरे $P$ से $\alpha W$ भार का एक गुटका जुड़ा है, जैसा चित्र में दर्शाया गया है। चित्र पैमाने (scale) के अनुसार नहीं है। डोरी अधिकतम तनाव $(2 \sqrt{2}) W$ वहन कर सकती है। निम्न में से कौन सा(से) कथन सही है (हैं)?
$(A)$ बिन्दु $O$ पर लगे प्रतिक्रिया बल का ऊर्ध्वाधर घटक, $\alpha$ पर निर्भर नहीं करता है
$(B)$ बिन्दु $O$ पर लग प्रतिक्रिया बल का क्षैतिज घटक, $\alpha=0.5$ के लिए, $W$ के बराबर है
$(C)$ $\alpha=0.5$ के लिए डोरी में तनाव $2 W$ है
$(D)$ यदि $\alpha>1.5$ हो, तो डोरी टूट जाएगी
- [IIT 2021]
$70$ सेंटीमीटर लंबी और $4.00\, kg$ द्रव्यमान की धातु की छड़ के दोनों सिरों से $10$ सेंटीमीटर दूर रखे दो क्षुर-धारों पर टिकी है। इसके एक सिरे से $40$ सेंटीमीटर की दूरी पर $6.00\, kg$ द्रव्यमान का एक भार लटकाया गया है। क्षुर-धारों पर लगने वाले प्रतिक्रिया बलों की गणना कीजिए। (छड़ को समांग और समान अनुप्रस्थ काट वाली मान सकते हैं।)
$70$ सेंटीमीटर लंबी और $4.00\, kg$ द्रव्यमान की धातु की छड़ के दोनों सिरों से $10$ सेंटीमीटर दूर रखे दो क्षुर-धारों पर टिकी है। इसके एक सिरे से $40$ सेंटीमीटर की दूरी पर $6.00\, kg$ द्रव्यमान का एक भार लटकाया गया है। क्षुर-धारों पर लगने वाले प्रतिक्रिया बलों की गणना कीजिए। (छड़ को समांग और समान अनुप्रस्थ काट वाली मान सकते हैं।)
लम्बाई $'l'$ की एक एकसमान छड़ नगण्य त्रिज्या के एक ऊर्ध्वाधर डण्डे पर कीलकित (pivoted) है। जब यह डण्डा कोणीय गति $\omega$ से घूमता है तो छड़ इससे $\theta$ कोण बनाती है (चित्र देखें)। $\theta$ का मान ज्ञात करने के लिये हम छड़ के द्रव्यमान केन्द्र $(CM)$ के सापेक्ष इसके कोणीय संवेग में होने वाले परिवर्तन (जिसका मान $\frac{ m \ell^{2}}{12} \omega^{2} \sin \theta \cos \theta$ है और जिसकी दिशा इस तल के अन्दर की ओर है) को इस पर लगने वाले क्षैतिज $F _{ H }$ व ऊर्ध्वाधर $F _{ V }$ बलों के $CM$ के सापेक्ष आघूर्ण के बराबर लेते हैं। तब $\theta$ का मान ऐसा होगा कि ......।
लम्बाई $'l'$ की एक एकसमान छड़ नगण्य त्रिज्या के एक ऊर्ध्वाधर डण्डे पर कीलकित (pivoted) है। जब यह डण्डा कोणीय गति $\omega$ से घूमता है तो छड़ इससे $\theta$ कोण बनाती है (चित्र देखें)। $\theta$ का मान ज्ञात करने के लिये हम छड़ के द्रव्यमान केन्द्र $(CM)$ के सापेक्ष इसके कोणीय संवेग में होने वाले परिवर्तन (जिसका मान $\frac{ m \ell^{2}}{12} \omega^{2} \sin \theta \cos \theta$ है और जिसकी दिशा इस तल के अन्दर की ओर है) को इस पर लगने वाले क्षैतिज $F _{ H }$ व ऊर्ध्वाधर $F _{ V }$ बलों के $CM$ के सापेक्ष आघूर्ण के बराबर लेते हैं। तब $\theta$ का मान ऐसा होगा कि ......।
- [JEE MAIN 2020]
$\ell$ लम्बाई और $m$ द्रव्यमान वाली एक छड़ $A$ के परित : ऊर्ध्वाधर समतल में घूर्णन करने के लिए मुक्त है। यह छड़ जो आरंभिक रूप से क्षैतिज स्थिति में है छोड़ दी गयी। छड़ का आरंभिक कोणीय त्वरण है $( A$ के परित : छड़ का जड़त्व आघूर्ण है $\frac{ m \ell^{2}}{3}$ ):
$\ell$ लम्बाई और $m$ द्रव्यमान वाली एक छड़ $A$ के परित : ऊर्ध्वाधर समतल में घूर्णन करने के लिए मुक्त है। यह छड़ जो आरंभिक रूप से क्षैतिज स्थिति में है छोड़ दी गयी। छड़ का आरंभिक कोणीय त्वरण है $( A$ के परित : छड़ का जड़त्व आघूर्ण है $\frac{ m \ell^{2}}{3}$ ):
- [AIPMT 2006]
एकसमान धातु की पट्टी, जो कि एक त्रिभुज $ABC$ के आकार में है, का द्रव्यमान $540 \,gm$ है। भुजाओं $AB , BC$, एवं $CA$ की लम्बाई क्रमश: $3 \,cm$, $5 \,cm$ एवं $4 \,cm$ है। यह पह्टी मुक्त रूप से बिंदु $A$ पर धुराग्रस्त (pivotted) है। एक शीर्ष पर क्या द्रव्यमान जोड़ा जाए जिससे कि पट्टी इस तरह लटके कि उसकी लम्बी भुजा पूर्णतः क्षैतिज हो जाए ?
एकसमान धातु की पट्टी, जो कि एक त्रिभुज $ABC$ के आकार में है, का द्रव्यमान $540 \,gm$ है। भुजाओं $AB , BC$, एवं $CA$ की लम्बाई क्रमश: $3 \,cm$, $5 \,cm$ एवं $4 \,cm$ है। यह पह्टी मुक्त रूप से बिंदु $A$ पर धुराग्रस्त (pivotted) है। एक शीर्ष पर क्या द्रव्यमान जोड़ा जाए जिससे कि पट्टी इस तरह लटके कि उसकी लम्बी भुजा पूर्णतः क्षैतिज हो जाए ?
- [KVPY 2016]